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By Friedrich Sauvigny

ISBN-10: 3642415067

ISBN-13: 9783642415067

Das Buch bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen Veränderlichen sowie in einer komplexen Variablen. Die elementaren Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über das uneigentliche n-dimensionale Riemannsche vital die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen necessary und dessen Maßtheorie werden die Banachräume p-fach integrierbarer Funktionen eingeführt. Es werden für gewöhnliche Differentialgleichungen systematisch Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen behandelt. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird direkt über die Untersuchung von Geodätischen der Riemannsche Raum und sein Krümmungsbegriff vorgestellt.

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N→∞ 32 I Das System der reellen und komplexen Zahlen Beweis: Angenommen, es w¨are α > c erf¨ ullt. Dann folgt zun¨achst 12 (α+c) > c. ¨ Aquivalent zur Aussage lim xn = α gibt es zu jedem ϵ > 0 einen Index n→∞ N (ϵ) ∈ N mit der folgenden Eigenschaft: |xn − α| ≤ ϵ Zum speziellen ϵ := bzw. xn − ϵ ≤ α ≤ xn + ϵ f¨ ur alle n ≥ N (ϵ). 1 (α −c) ist nun f¨ ur alle Indizes n ≥ N (ϵ) die Ungleichung 2 1 α ≤ xn + (α − c) bzw. 2 xn ≥ α − 1 1 (α − c) = (α + c) > c 2 2 erf¨ ullt. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung.

Sei die monoton nicht fallende reelle Folge {xn }n∈N gegeben, die nach oben beschr¨ ankt ist gem¨ aß xn ≤ c (n = 1, 2, . ) mit der Schranke c ∈ R. Dann ist die Folge {xn }n∈N konvergent. Beweis: Wegen der Beschr¨anktheit und Monotonie unserer Folge gilt |xn | ≤ c1 := max{|x1 |, |c|} f¨ ur alle n ∈ N. Nach Satz 4 gibt es zu {xn }n∈N eine Teilfolge {xnk }k∈N mit lim xnk = α. k→∞ Wir zeigen jetzt, dass auch {xn }n∈N gegen α ∈ R konvergiert: Zu jedem n ∈ N ist die Ungleichung n ≤ nk f¨ ur alle k ≥ n richtig, und die Monotonie liefert xn ≤ xnk f¨ ur alle k ≥ n.

N→∞ Beweis: Sei die reelle Zahl α = [xn ]n∈N mit xn ∈ Q f¨ ur alle n ∈ N gegeben. Wir erkl¨ aren dann die rationale Zahl am := [yn ]n∈N durch die konstante rationale Folge {yn }n∈N := {xm , xm , . }. Dann gilt f¨ ur jedes feste m ∈ N die Identit¨at α − am = [xn − yn ]n∈N = [xn − xm ]n∈N . urliche Da nun {xn }n∈N eine Cauchyfolge ist, gibt es zu jedem ϵ > 0 eine nat¨ Zahl N = N (ϵ) mit |xn − xm | < ϵ f¨ ur alle m, n ≥ N. Bei festem Index m ≥ N wenden wir den Hilfssatz 3 auf die Folge zn := xn − xm , n = 1, 2, .

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