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By Kurt-Ulrich Witt

ISBN-10: 3658040750

ISBN-13: 9783658040758

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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Xn ) ∈ G und y = (y1 , . . , yn ) ∈ G das direkte Produkt von ✷ G1 , . . , Gn . 2 Das direkte Produkt der additiven Gruppe der ganzen Zahlen (Z, +) ist (Z × Z, +2 ) definiert durch (a, b) +2 (c, d) = (a + c, b + d). Die Abgeschlossenheit ist offensichtlich, ebenso die Kommutativit¨at. Wir rechnen (a, b) +2 ((c, d) +2 (e, f )) = (a, b) +2 (c + e, d + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = ((a + c, b + d) +2 (e, f ) = ((a, b) +2 (c, d)) +2 (e, f ) und stellen die Assoziativit¨at von +2 fest.

3, . . , (n + 1)! + (n + 1)} dann gilt L ∩ P = ∅. Es gibt also beliebig lange Folgen nat¨urlicher Zahlen, die keine Primzahl enthalten, denn zu jedem n ∈ N enth¨alt L(n) keine Primzahl, und es ist |L(n)| = n. ✷ Eine grundlegende Eigenschaft nat¨urlicher Zahlen beschreibt der folgende Fundamentalsatz der Zahlentheorie. 13 Jede nat¨urliche Zahl a ∈ N, a ≥ 2, l¨asst sich als Produkt von Primzahlen darstellen: a = q1 · q2 · . . · qr . Diese Darstellung, die auch Faktorisierung von a genannt wird, ist bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren qi ∈ P, 1 ≤ i ≤ r, eindeutig.

20 F¨ur alle a, b ∈ N0 ist [a, b] = ab genau dann, wenn a und b relativ prim zueinander sind. 16! 20! 2 sind wir kurz darauf eingegangen, dass die Betrachtungen zum gr¨oßten gemeinsamen Teiler von zwei auf mehr als zwei ganzen Zahlen verallgemeinert werden k¨onnen. Analog gilt das auch f¨ur das kleinste gemeinsame Vielfache. Eine verallgemeinerte Definition lautet wie folgt: c ∈ N0 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a1 , . . , ak ∈ Z genau dann, wenn (1) gilt ai |c, 1 ≤ i ≤ k, und (2), wenn ai |c , 1 ≤ i ≤ k gilt, dann muss c|c sein.

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