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By W. L. Ferrar

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3. ]. Potenzen einer Matrix Wenn die quadratische Matrix A mehrfach mit sich selbst multipliziert wird, so sprechen wir wie bei den Zahlen von den Potenzen der Matrix. Es ist also A2 = AA, A3 = A2A = AA2 usf. Wir betrachten nur Matrizen, deren Format endlich ist; für gewisse Anwendungen sind die sogenannten unendlichen Matrizen von Wichtigkeit, für welche die Definitionen und Rechenregeln, die wir für endliche Matrizen kennenlernten, nur mit gewissen Einschränkungen gelten (s. (10)). 64 2. 4. 1.

Beweis: Es ist (A 1A 2 ... 1 ... A;IAi l) = A 1 A2 ... l ... A;IA I I = A 1A 2 ... 1 ... A;IA I I = A l A2 ... • Wir sehen, daß die reziproke Matrix einer Produktmatrix nur existieren kann, wenn die reziproken Matrizen sämtlicher Faktoren vorhanden sind. 10: Die Reziproken der einzelnen Faktoren eines Matrizenproduktes existieren, wenn die reziproke Matrix des Produkts existiert. Beweis: a) Das wollen wir zunächst für zwei Faktoren beweisen: Die Reziproke R zu A 1 A 2 soll existieren; dann gilt: R(A IA 2 ) = (A 1 A 2 ) R = E.

Und All = A2 R sind vorhanden. • Die Reziproke einer Einheitsmatrix E ist diese selbst, d. h. E- 1 = E. 3. 21: Belechnung der Reziproken für n = 2. Es seien _ [au Aa21 a12] a22 , A- 1 = [ Xll X12], X21 X22 E= [~ ~]. A-l soll so bestimmt werden, daß A- 1A = AA- 1 = E wird. Wir benutzen AA-l = E und erhalten daraus die (olgenden vier Gleichungen I. auxu 11. a21Xll + aUx21 = I, + aUx21 = 0, 111. IV. aUx12 a21xU + al2x22 = 0, + a22x22 = 1. Aus I. und 11. ergeben sich: (aU a 22 - aUa 21) X11 = a22, (aUa22 - a12a 21) X21 = -a21' Zur Abkürzung führen wir ein: = 2 der n2 = 4 Elemente von A und besitzt für gegebene alt einen bestimmten Zahlenwert.

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