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By Gautier C., Girard G., Gerll D., Thiercé C., Warusfel A.

L. a. assortment Aleph zero est une série de manuels de mathématiques publiée lors de l’application de l. a. réforme dite des « maths modernes ».

Contenu de ce volume :

Préface
Mathématique/Classes terminales. Nouveaux programmes (Arrêté du 14 mai 1971), sections A, B, C, D et E
Alphabet grec

1 Nombres réels
    1.1 Propriétés de l’ensemble ℝ
        1.1.1 Corps commutatif totalement ordonné
        1.1.2 Corps des nombres réels
        1.1.3 Bornes supérieures et inférieures
        1.1.4 Intervalles emboîtés et suites adjacentes
        1.1.5 Théorème d’Archimède
        1.1.6 Valeurs approchées d’un nombre réel
        1.1.7 Corps des nombres rationnels
        1.1.8 Valeur absolue d’un nombre réel
        1.1.9 Congruences dans ℝ
        1.1.10 Automorphismes de ℝ
        Exercices

    1.2 Calculs d’incertitudes
        1.2.1 Incertitudes
        1.2.2 Représentation décimale d’un nombre réel
        1.2.3 Incertitudes sur une somme et une différence
        1.2.4 Incertitudes sur un produit et un quotient
        Exercices
        Problèmes

2 Corps des nombres complexes
    2.1 Corps ℂ des matrices (a -b; b a)
        2.1.1 Définition
        2.1.2 Le groupe (ℂ, +)
        2.1.3 Le corps commutatif (ℂ, +, .)

    2.2 Espace vectoriel de ℂ sur ℝ
        2.2.1 Le sous-espace vectoriel ℂ sur ℝ
        2.2.2 Base et size de l’espace vectoriel ℂ
        2.2.3 Isomorphisme de ℝ et d’un sous-corps de ℂ
        Problème

    2.3 Nombres complexes
        2.3.1 l. a. notation z = a + ib
        2.3.2 Opérations sur les nombres complexes
        2.3.3 L’équation z² = a, a réel
        2.3.4 Nombres complexes conjugués
        2.3.5 Applications
        Exercices

    2.4 Module d’un nombre complexe
        2.4.1 Norme et module
        2.4.2 Inégalité de Minkowski
        2.4.3 Le groupe multiplicatif U des complexes de module égal à un
        Exercices

    2.5 Représentation géométrique des nombres complexes
        2.5.1 Plan vectoriel et plan affine identifiés à ℂ
        2.5.2 Interprétations géométriques
        2.5.3 l. a. symétrie airplane axiale
        Exercices
        Problèmes

3 Forme trigonométrique des nombres complexes
    3.1 Rappels et compléments
        3.1.1 Le groupe des matrices (a -b; b a), a² + b² = 1, et le groupe A des angles
        3.1.2 Le groupe additif ℝ/2πℤ et le groupe additif A des angles
        3.1.3 Conclusion

    3.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
        3.2.1 Homomorphisme θ du groupe additif ℝ sur le groupe multiplicatif U
        3.2.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe de module 1
        3.2.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

    3.3 Argument d’un nombre complexe non nul
        3.3.1 Isomorphisme du groupe (ℝ/2πℤ, +) sur le groupe (ℂ*, *)
        3.3.2 Argument d’un nombre complexe u et forme trigonométrique de u
        3.3.3 Formule de Moivre
        3.3.4 Argument d’un nombre complexe z non nul
        3.3.5 Propriétés de l. a. fonction argument de z
        3.3.6 Cas des nombres réels et des nombres imaginaires purs
        3.3.7 Résumé des propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe non nul
        3.3.8 Exemples de calculs
        Exercices

    3.4 purposes trigonométriques
        3.4.1 Calcul de cos nx et de sin nx, x étant réel (n = 2, n = three, n = 4)
        3.4.2 Complément : étude du cas général
        3.4.3 Linéarisation des polynômes trigonométriques
        3.4.4 Notation e^(ix)
        Exercices
        Problèmes

4 purposes des nombres complexes
    4.1 purposes géométriques des nombres complexes
        4.1.1 Plan vectoriel euclidien et argument d’un nombre complexe
        4.1.2 Plan affine euclidien et argument d’un nombre complexe
        4.1.3 Représentations de nombres complexes. Exercices
        Exercices

    4.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4.2.1 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4.2.2 Représentation des racines n-ièmes
        4.2.3 Racines cubiques de l’unité
        4.2.4 Racines quatrièmes de l’unité
        4.2.5 Racines n-ièmes de l’unité
        4.2.6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe z et racines n-ièmes de 1
        4.2.7 Racines carrées d’un nombre complexe z non nul
        Exercices

    4.3 Résolution d’équations dans le corps ℂ
        4.3.1 Résolution de l’équation définie sur ℂ par az + b = 0
        4.3.2 Résolution de l’équation du moment degré, sur ℂ, à coefficients complexes
        4.3.3 Équation du moment degré à coefficients réels sur ℂ
        4.3.4 Exemples de résolution d’équations du moment degré
        4.3.5 Applications
        4.3.6 Résolution, sur ℝ, de l’équation a cos x + b sin x + c = 0
        Exercices
        Problèmes

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11)(3)). 24) MuPAD: (1) Der in isprime implementierte Primzahltest wird spiiter in § 7 ausfiihrlich besprochen. Es handelt sich dabei urn einen stochastischen Primzahltest: Liefert isprime (a) fur eine ganze Zahl a die Ausgabe TRUE, so braucht a keine Primzahl zu sein; aber die Wahrscheinlichkeit dafiir ist vergleichsweise klein. Bei der Ausgabe FALSE ist a wirklich keine Primzahl. Man kann sich uberlegen, daB isprime bei einmaliger Anwendung auf die Nichtprimzahl a := 12530759607784496010584573923 mit der Wahrscheinlichkeit (1/4)10 die falsche Ausgabe TRUE liefert (vgl.

Die Funktion J x Li : [2,00 [ ---7 lR mit Li(x) := -11 dt o ogt fur jedes x E [2,00 [ heifit der Integrallogarithmus. Eine Anwendung der Regel von L'Hospital zeigt, dafi lim (Li( x) / -x1 ) = 1 x--+oo og X gilt. Daraus und aus der in (1) angegebenen Version des Primzahlsatzes folgt: Es gilt lim 7T ( x ) = l. x--+oo Li ( x ) 2 Primzahlen 35 (In dieser Form wurde der Primzahlsatz von Hadamard und von de la ValleePoussin bewiesen). Die Funktion Li liefert bessere Naherungen fur die Funktionswerte von 7r als die Funktion x I-t x/log x : [2,00 [ --+ JR.

Es ist a",(m) == 1 (mod m), und ord([a]m) ist ein Teiler von y(m), und zwar ist ord([a]m) = min({d EN d teilt y(m); ad == 1 (mod m)}). 1 Beweis: Es ist [a]m E E(Z/mZ). ord([a]m) teilt #(E(Z/mZ)) = y(m), und es gilt [a];:,(m) = [l]m, also a",(m) == 1 (mod m) (vgl. 6)(2)). 6)(2) folgt auch, daB ord([a]m) der kleinste Teiler dEN von y(m) mit a d ==l (modm)ist. 21) Folgerung (P. de Fermat 1640): Es sei peine Primzahl. (1) Fur jedes a E Z mit pta gilt aP- 1 == 1 (mod p) und order a ]p) I p - 1. (2) Fur jedes a E Z gilt aP == a (mod p).

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